Heizkörperexponent n = 1

\[\begin{array}{l}\dot Q(\dot m,\vartheta ,\bar \vartheta ,{\vartheta _L},A)\\d\dot Q = \frac{{\partial \dot Q}}{{\partial \dot m}}d\dot m + \frac{{\partial \dot Q}}{{\partial \vartheta }}d\vartheta + \frac{{\partial \dot Q}}{{\partial \bar \vartheta }}d\bar \vartheta + \frac{{\partial \dot Q}}{{\partial {\vartheta _L}}}d{\vartheta _L} + \frac{{\partial \dot Q}}{{\partial a}}da\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\rm{Ansatz:}}\\\dot Q = \dot m \cdot c \cdot ({\vartheta _V} - \vartheta ) = U \cdot (\bar \vartheta - {\vartheta _L}) \cdot a\\\frac{{d\dot Q}}{{da}} = \dot m \cdot c \cdot ( - \frac{{d\vartheta }}{{da}}) = U \cdot (\bar \vartheta - {\vartheta _L}) \cdot \frac{{da}}{{da}}\\\\\bar \vartheta = \mathop {\lim }\limits_{\Delta \vartheta \to 0} \frac{1}{2}((\vartheta + \frac{1}{2}\Delta \vartheta ) + (\vartheta - \frac{1}{2}\Delta \vartheta )) = \vartheta \\\\d\dot Q = - \dot m \cdot c \cdot d\vartheta = U \cdot (\vartheta - {\vartheta _L}) \cdot da\\\int\limits_{{\vartheta _V}}^\vartheta {\frac{{d\vartheta }}{{\vartheta - {\vartheta _L}}} = - \frac{U}{{\dot m \cdot c}}\int\limits_0^a {da} } \\\\\vartheta = {\vartheta _L} + ({\vartheta _V} - {\vartheta _L}) \cdot {e^{ - \frac{{U \cdot a}}{{\dot m \cdot c}}}}\\\\{\rm{Massenstrom}}\,\,{\rm{\dot m }}\,{\rm{ist}}\,\,{\rm{unveraendert}}\\a = 0 \Rightarrow \vartheta = {\vartheta _V}\\a = A \Rightarrow \vartheta = {\vartheta _R}\\\\{\rm{Flaeche}}\,\,{\rm{A }}\,\,{\rm{ist }}\,\,{\rm{unveraendert}}\\\dot m = 0 \Rightarrow \vartheta = {\vartheta _R} = {\vartheta _L}\\\dot m \to \infty \Rightarrow \vartheta \to {\vartheta _V}\end{array}\]

Durch Umformen der Gleichung
\[\dot Q(\vartheta ) = \dot m \cdot c \cdot ({\vartheta _V} - \vartheta ) = A \cdot U \cdot {\left( {\frac{{{\vartheta _V} - \vartheta }}{{\ln (\frac{{{\vartheta _V} - {\vartheta _L}}}{{\vartheta - {\vartheta _L}}})}}} \right)^n}\]
nach der Temperatur ergibt sich denn wieder für n = 1 die gesuchte Gleichung.
Wegen des Wärmeüberganges ist der U-Wert ist ebenfalls von der Strömungsgeschwindigkeit (Massenstrom) abhängig; allerdings wird dieser in den Berechnungen als Konstante angenommen.