Das Elektrische Pendel im Plattenkondensator
Kontinuierlicher Ladungstransport & Schwingungsdynamik
Steuerung
Kräftezerlegung am Pendel Statik & Gleichgewicht
1. Gleichsetzung der Rückstellkräfte:
\[ F_R = F \]2. Projektionsgleichung aus der Skizze:
\[ m g \cdot \sin\varphi = F_E \cdot \cos\varphi \]3. Resultierende elektrische Kraft:
Herleitung (aufwärts Bewegung) Vektorielle Ansätze
1. Kraftansatz:
\[ m \vec{a} = \vec{F}_G + \vec{F}_l + \vec{F}_E \]2. Projektion auf die tangentiale $x$-Richtung ($\vec{e}_x$):
\[ m \vec{a} \cdot \vec{e}_x = \vec{F}_G \cdot \vec{e}_x + \vec{F}_l \cdot \vec{e}_x + \vec{F}_E \cdot \vec{e}_x \]3. Winkelkomponenten einsetzen:
\[ m a = m g \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right) + F_E \cdot \cos\varphi \]4. Ausnutzen der Winkelfunktion $\cos(\frac{\pi}{2} + \varphi) = -\sin\varphi$:
\[ m a = -m g \cdot \sin\varphi + F_E \cdot \cos\varphi \]5. Mit Bahnbeschleunigung $a = l \cdot \ddot{\varphi}$:
Herleitung (abwärts Bewegung) Bogenlänge & Projektion
1. Skalarproduktansatz:
\[ m \vec{a} \cdot \vec{e}_x = \vec{F}_G \cdot \vec{e}_x + \vec{F}_l \cdot \vec{e}_x + \vec{F}_E \cdot \vec{e}_x \]2. Umformung mit Bahnvektor $\vec{e}_s$:
\[ m \ddot{s} \cdot \vec{e}_s \cdot \vec{e}_x = m g \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right) + F_E \cdot \cos\varphi \]3. Koordinatentransformation $B = b + s$:
\[ m \cdot \ddot{s} \cdot (-1) = -m \cdot (-\ddot{b}) \cdot (-1) \]4. Einsetzen der Bogenlänge $s = l \cdot \varphi \implies \ddot{s} = l \cdot \ddot{\varphi}$:
Aufgabe 1: Elektrische Feldstärke Grundlagen
Ein Plattenkondensator hat einen Abstand von $d = 1.2\,\text{m}$ und wird an eine Spannung von $U = 3.0\,\text{kV}$ angeschlossen. Berechne den Betrag der elektrischen Feldstärke $E$ im homogenen Feld zwischen den Platten.
Lösung:
\[ E = \frac{U}{d} = \frac{3000\,\text{V}}{1.2\,\text{m}} = 2500\,\frac{\text{V}}{\text{m}} \]Aufgabe 2: Elektrische Kraft Kraftwirkung
Die Pendelkugel besitze eine Ladung von $q = 4\,\mu\text{C}$. Welche elektrische Kraft $\vec{F}_E$ wirkt auf die Kugel im elektrischen Feld aus Aufgabe 1 ($E = 2500\,\text{V/m}$)?
Lösung:
\[ F_E = q \cdot E = 4 \cdot 10^{-6}\,\text{C} \cdot 2500\,\frac{\text{V}}{\text{m}} = 0.01\,\text{N} \]Aufgabe 3: Schwingungsdauer Mechanik
Wie verhält sich näherungsweise die Eigenfrequenz eines normalen Fadenpendels ohne elektrische Einwirkung, wenn die Seillänge $l$ vervierfacht wird?
Lösung:
Da für die Frequenz $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$ gilt, halbiert sich die Frequenz ($f' = \frac{1}{2}f$), da $l$ unter der Wurzel im Nenner steht.
Aufgabe 4: Dämpfung im Phasenraum Dynamik
Was beschreibt der Dämpfungsterm $-\gamma \cdot \omega$ in der Bewegungsgleichung und wie spiegelt sich dies im Phasenraum wider?
Lösung:
Der Term modelliert Reibungsverluste (z.B. Luftwiderstand). Im Phasenraum ($\varphi$ gegen $\omega$) führt dies zu einer Spirale, die sich asymptotisch dem Nullpunkt (Ruhelage) annähert.
Aufgabe 5: Vorzeichenwechsel & Stoß Energie & Impuls
Die Kugel schlägt an der Platte an und wird umgeladen ($\text{Vorzeichenwechsel von } + \text{ zu } -$). Welcher physikalische Effekt bewirkt, dass sie sofort zur Gegenplatte beschleunigt wird?
Lösung:
Durch die Ladungsänderung kehrt sich die Richtung der elektrischen Kraft $\vec{F}_E = q\vec{E}$ um. Zusammen mit dem durch den elastischen Stoß verbleibenden Rückstellimpuls treibt sie das Feld sofort zur anderen Seite an.
Aufgabe 6: Verschiebung der Ruhelage Statik
Durch das elektrische Feld wird das Pendel aus seiner rein vertikalen Ruheposition ausgelenkt. Welcher Winkel $\varphi_0$ ergibt sich für die neue, statische Gleichgewichtslage, wenn sich die Kräfte im stationären Zustand ($\sum F = 0$) ausgleichen?
Lösung:
Im statischen Gleichgewicht ($\ddot{\varphi} = 0$ und $\omega = 0$) lautet die Bewegungsgleichung:
\[ -m g \cdot \sin\varphi_0 + F_E \cdot \cos\varphi_0 = 0 \]Durch Umformen erhält man den neuen Ruhewinkel:
\[ \tan\varphi_0 = \frac{F_E}{m g} \implies \varphi_0 = \arctan\left(\frac{q \cdot E}{m \cdot g}\right) \]Aufgabe 7: Maximale Bahngeschwindigkeit Dynamik
Die Kugel schwingt durch den tiefsten Punkt ($\varphi = 0$). Wovon hängt die maximale Bahngeschwindigkeit $v_{\max}$ in diesem Punkt qualitativ ab?
Lösung:
Im tiefsten Punkt ist die potenzielle Energie aufgrund der Schwerkraft minimal. Die maximale Bahngeschwindigkeit ergibt sich aus der Umwandlung der gespeicherten potenziellen Energie und der geleisteten Arbeit des elektrischen Feldes in kinetische Energie:
\[ \frac{1}{2} m v_{\max}^2 = E_{\text{pot, start}} + W_{\text{ elektrisch}} \]Je größer die angelegte Spannung $U$ und je kleiner die Masse $m$, desto höher ist die maximale Geschwindigkeit im Durchgang.
Aufgabe 8: Einfluss der Masse Kraftwirkung
Wie verändert sich die Winkelbeschleunigung $\alpha$ im Moment des Startwinkels, wenn die Masse $m$ der Pendelkugel verdoppelt wird (bei ansonsten gleichen Parametern)?
Lösung:
Betrachtet man die Bewegungsgleichung:
\[ \alpha = \frac{-m g \cdot \sin\varphi + F_E \cdot \cos\varphi}{m \cdot l} = -\frac{g}{l}\sin\varphi + \frac{F_E}{m \cdot l}\cos\varphi \]Der Gravitationsanteil bleibt von der Masse unabhängig (da $m$ im Zähler und Nenner kürzt), aber der elektrische Beschleunigungsanteil $\frac{F_E}{m}$ halbiert sich bei doppelter Masse. Die Kugel reagiert also träger auf das elektrische Feld.