Arbeit im Gravitationspotential
Herleitung und energetische Betrachtung
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\[\begin{array}{l}W = \vec F \cdot d\vec s\\\vec F = - {{\vec F}_G}\\d\vec s = d\vec r\\dW = - {{\vec F}_G} \cdot d\vec r = - {F_G} \cdot ( - {{\vec e}_y}) \cdot dr \cdot ({{\vec e}_y}) = {F_G} \cdot dr\\dW = \gamma mM{r^{ - 2}} \cdot dr\\\Delta {E_{pot}} = {E_{pot}}(2) - {E_{pot}}(1) = \left. { - \gamma mM{r^{ - 1}}} \right|_{{r_1}}^{{r_2}} = - \gamma mM\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_1}}}} \right)\\{r_1} \to \infty \Rightarrow V = - \gamma M{r^{ - 1}}\\E = \frac{1}{2}m{v^2} - \frac{{\gamma Mm}}{{{R_E}}} = 0\end{array}\]
📐 Formelzeichen:
$\gamma$: Gravitationskonstante
$m, M$: Massen
$r$: Abstand
$v$: Geschwindigkeit
$R_E$: Erdradius
🚀 Wissen vertiefen: Fluchtgeschwindigkeit
Setzt man die Gesamtenergie $E = 0$ (Grenze zum unendlichen Abstand bei verschwindender Geschwindigkeit), lässt sich die nötige Startgeschwindigkeit (2. kosmische Geschwindigkeit) direkt berechnen:
\[\frac{1}{2}mv^2 = \frac{\gamma Mm}{R_E} \implies v_{esc} = \sqrt{\frac{2\gamma M}{R_E}}\]
Für die Erde ergibt dies einen Wert von ca. $11{,}2\,\text{km/s}$, den ein Objekt unabhängig von seiner Masse $m$ benötigt, um das Gravitationsfeld komplett zu verlassen.
❓ Mini-Quiz
Was bedeutet das Minuszeichen im Gravitationspotential?